Вопрос школьника
Основание D перпендикуляра, проведенного из точки С окружности к ее диаметру АВ, делит его на отрезки, длины которых равны 4 см и 9 см. Окружность, построенная на отрезке AD как на диаметре, пересекает хорду АС в точке F. Вычислите длину отрезка AF.
Ответ от учителя
Пусть точка D делит диаметр АВ на отрезки CD и DB длинами 4 см и 9 см соответственно. Так как перпендикуляр, проведенный из точки С, делит диаметр на две равные части, то точка D является серединой диаметра АВ.
Таким образом, AD = 4 + 9 = 13 см, и радиус окружности, построенной на отрезке AD как на диаметре, равен R = AD/2 = 6.5 см.
Так как точка F лежит на окружности с диаметром AD, то она также лежит на перпендикуляре, проведенном из точки D. Пусть точка F делит хорду АС на отрезки AF и FC длинами x и y соответственно.
Так как точка D является серединой диаметра АВ, то отрезки AF и FC равны между собой, то есть x = y.
Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ADF с гипотенузой AD и катетом DF, имеем:
DF^2 + AF^2 = AD^2
DF^2 + x^2 = 169
DF^2 = 169 — x^2
Так как точка F лежит на окружности с радиусом R = 6.5 см, то расстояние от точки F до центра окружности (точки D) равно R = 6.5 см. Таким образом, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника DCF с гипотенузой DF и катетом DC = 4 см, имеем:
DF^2 = 6.5^2 — 4^2 = 33.25
Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получаем:
33.25 + x^2 = 169
x^2 = 135.75
x ≈ 11.65 см
Таким образом, длина отрезка AF ≈ 11.65 см.
