Вопрос школьника
Основание D высоты CD треугольника ABC лежит на стороне АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если АВ = 3, a CD = корень3.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством подобных треугольников.
Обозначим точку пересечения высоты CD с стороной AB как точку E. Тогда, так как высота CD является биссектрисой угла C, то CE является медианой треугольника ABC. Также, так как AD = BC, то треугольники ADE и BCE подобны.
Из свойств подобных треугольников следует, что:
$frac{AE}{EB} = frac{AD}{BC} = 1$
Так как AB = 3, то AE + EB = 3. Из этого следует, что AE = EB = 3/2.
Теперь рассмотрим треугольник ACD. По теореме Пифагора:
$AC^2 = AD^2 — CD^2 = AB^2 — BC^2 — CD^2$
Так как AD = BC, то:
$AC^2 = AB^2 — CD^2 = 3^2 — (sqrt{3})^2 = 6$
Отсюда следует, что AC = $sqrt{6}$.
Итак, мы нашли, что AE = EB = 3/2 и AC = $sqrt{6}$. Теперь можем найти длину отрезка AS:
$AS = AE + ES = AE + EC = frac{3}{2} + sqrt{6}$
Ответ: АС = $frac{3}{2} + sqrt{6}$.
