Вопрос школьника
Основание пирамиды ОАВС — треугольник ABC, длины сторон которого равны 6 см, 8 см, 10 см. Вычислите объем пирамиды, если сфера с центром в точке О проходит через вершины треугольника ABC, а радиус сферы равен 13 см.
Ответ от учителя
Для вычисления объема пирамиды необходимо знать ее высоту и площадь основания. Площадь основания пирамиды ABC можно найти по формуле Герона:
p = (a + b + c) / 2 = (6 + 8 + 10) / 2 = 12
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(12(12-6)(12-8)(12-10)) = √(12*6*4*2) = 24 см²
Высоту пирамиды можно найти, зная радиус сферы и расстояние от центра сферы до плоскости основания пирамиды. Расстояние от центра сферы до плоскости основания пирамиды равно радиусу сферы минус высота пирамиды, то есть:
h = R — OH
где R — радиус сферы, OH — расстояние от центра сферы до плоскости основания пирамиды.
Так как сфера проходит через вершины треугольника ABC, то центр сферы О лежит на пересечении высот треугольника. Поэтому можно найти расстояние OH, используя формулу для высоты треугольника:
S = 1/2 * a * h
где S — площадь треугольника ABC, a — длина стороны треугольника, проведенной к высоте h.
Так как треугольник ABC — прямоугольный, то высота, опущенная на гипотенузу, является его медианой и половина гипотенузы. Поэтому:
h = 1/2 * AB = 1/2 * 10 = 5 см
Теперь можно найти расстояние OH:
OH = R — h = 13 — 5 = 8 см
Таким образом, площадь основания пирамиды равна 24 см², а высота равна 5 см. Объем пирамиды можно найти по формуле:
V = 1/3 * S * h = 1/3 * 24 * 5 = 40 см³
Ответ: объем пирамиды ОАВС равен 40 см³.
