Вопрос школьника
Основание пирамиды — прямоугольник. Две боковые грани ее перпендикулярны основанию, а две другие образуют с плоскостью основания углы 45° и 30°. Вычислите объем пирамиды, если длина наибольшего бокового ребра равна 3√5 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти высоту пирамиды и длину боковых ребер, а затем применить формулу для объема пирамиды.
Поскольку две боковые грани перпендикулярны основанию, то мы можем разбить пирамиду на два треугольных призмы, каждая из которых имеет основание прямоугольника и высоту, равную высоте пирамиды. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды:
$h^2 = (frac{1}{2}b)^2 + (frac{1}{2}l)^2$
где $b$ и $l$ — длины сторон прямоугольника, являющегося основанием пирамиды.
Подставляя значения углов, мы можем найти длины боковых ребер:
$a_1 = frac{b}{sin 45^circ} = bsqrt{2}$
$a_2 = frac{b}{sin 30^circ} = 2b$
Таким образом, мы можем записать формулу для объема пирамиды:
$V = frac{1}{3}S_{text{осн}}h = frac{1}{3}blh$
где $S_{text{осн}}$ — площадь основания пирамиды.
Подставляя значения, получаем:
$V = frac{1}{3}(2b cdot b) cdot h = frac{2}{3}b^2h$
$h^2 = (frac{1}{2}b)^2 + (frac{1}{2}l)^2 = (frac{1}{2}b)^2 + (frac{1}{2}bsqrt{2})^2 = frac{5}{8}b^2$
$h = sqrt{frac{5}{8}}b = frac{sqrt{10}}{4}b$
$V = frac{2}{3}b^2h = frac{2}{3}b^2 cdot frac{sqrt{10}}{4}b = frac{sqrt{10}}{6}b^3$
Подставляя значение длины наибольшего бокового ребра $a_2 = 3sqrt{5}$, мы можем найти длину стороны прямоугольника:
$2b = a_2 = 3sqrt{5}$
$b = frac{3sqrt{5}}{2}$
Таким образом, мы можем найти объем пирамиды:
$V = frac{sqrt{10}}{6}b^3 = frac{sqrt{10}}{6}(frac{3sqrt{5}}{2})^3 = frac{45sqrt{10}}{4}$
Ответ: объем пирамиды равен $frac{45sqrt{10}}{4}$ кубических сантиметров.
