Вопрос школьника
Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, длины катетов которого 3 см и 4 см. Вычислите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо знать формулу для вычисления объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где V — объем пирамиды, S — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды.
Для начала найдем площадь основания пирамиды. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник со сторонами 3 см и 4 см. Площадь такого треугольника можно вычислить по формуле:
S = (a * b) / 2,
где a и b — длины катетов треугольника.
Подставляя значения, получаем:
S = (3 * 4) / 2 = 6 см².
Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, так как каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной стороны основания. Этот треугольник также является прямоугольным, и мы знаем длины его катетов — это половина стороны основания (3/2 см) и высота пирамиды (h). Используя теорему Пифагора, получаем:
(3/2)² + h² = (боковое ребро)²,
(3/2)² + h² = a²,
9/4 + h² = a².
Так как каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°, то боковое ребро равно половине диагонали основания, то есть:
боковое ребро = (3² + 4²)^(1/2) / 2 = 2.5 см.
Подставляя это значение в уравнение, получаем:
9/4 + h² = 2.5²,
h² = 2.5² — 9/4,
h² = 25/4 — 9/4,
h² = 16/4,
h = 2 см.
Теперь мы можем вычислить объем пирамиды, подставив найденные значения в формулу:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * 6 * 2 = 4 см³.
Ответ: объем пирамиды равен 4 см³.
