Вопрос школьника
Основание пирамиды РАВС — равнобедренный прямоугольный треугольник, ∠A = 90°, (РА) ⊥ (ABC), |АВ| + |АС| + |АР| = 12. При каких длинах АВ, АС, АР объём пирамиды наибольший?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длины сторон треугольника ABC и высоту пирамиды, а затем использовать формулу для объема пирамиды.
Из условия задачи мы знаем, что треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником, где ∠A = 90°. Это означает, что стороны AB и AC равны между собой, то есть |AB| = |AC|. Также из условия задачи мы знаем, что |AB| + |AC| + |AR| = 12.
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны BC:
BC² = AB² + AC²
BC² = 2AB²
BC = AB√2
Теперь мы можем найти высоту пирамиды. Высота пирамиды является перпендикуляром, опущенным из вершины пирамиды на основание. Так как основание является треугольником ABC, то высота пирамиды является перпендикуляром, опущенным из вершины пирамиды на плоскость, содержащую треугольник ABC.
Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту пирамиды:
h² = AR² — (BC/2)²
h² = (12 — AB — AC)² — (AB²/2)
h = √(144 — 24AB — 24AC + 2AB² + AC²)/2
Теперь мы можем использовать формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h
где S — площадь основания пирамиды, которая равна (1/2) * AB * AC.
Мы можем заменить S и h в формуле для объема пирамиды и получить функцию V(AB, AC):
V(AB, AC) = (1/6) * AB * AC * √(144 — 24AB — 24AC + 2AB² + AC²)
Теперь мы можем найти максимальное значение функции V(AB, AC), используя методы дифференциального исчисления. Для этого нужно найти частные производные функции V(AB, AC) по переменным AB и AC, приравнять их к нулю и решить полученную систему уравнений.
dV/dAB = (1/6) * (AC * √(144 — 24AB — 24AC + 2AB² + AC²) — AB * (24 + 4AB))/√(144 — 24AB — 24AC + 2AB² + AC²) = 0
dV/dAC = (1/6) * (AB * √(144 — 24AB — 24AC + 2AB² + AC²) — AC * (24 + 4AC))/√(144 — 24AB — 24AC + 2AB² + AC²) = 0
Решая эту систему уравнений, мы получаем два решения: AB = AC = 2 и AB = AC = 4. Проверка показывает, что первое решение дает минимум функции V(AB, AC), а второе решение дает максимум функции V(AB, AC).
Таким образом, при длинах сторон АВ = АС = 4 и АР = 4√2 объем пирамиды будет наибольшим.
