Вопрос школьника
Основание правильной четырехугольной пирамиды вписано в окружность основания цилиндра, а ее вершина совпадает с центром другого основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания. Вычислите объем пирамиды, если площадь основания цилиндра равна 16п см2.
Ответ от учителя
Рассмотрим данную конструкцию на рисунке:
Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а высота цилиндра равна $h$. Тогда площадь основания цилиндра равна $pi r^2 = 16pi$.
Так как площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания, то $2pi rh = pi r^2$, откуда $h = frac{r}{2}$.
Также заметим, что высота пирамиды равна $h$, так как вершина пирамиды совпадает с центром основания цилиндра.
Пусть сторона основания пирамиды равна $a$. Тогда, так как пирамида правильная, ее высота равна $frac{asqrt{2}}{2}$.
Обозначим через $O$ центр окружности, вписанной в основание пирамиды, а через $M$ — середину стороны основания пирамиды. Тогда $OM = frac{a}{2}$, а $OM$ является радиусом вписанной окружности. Так как пирамида правильная, то высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности, а значит, она делит боковую грань пирамиды на две равные части. Таким образом, высота пирамиды равна $OMsqrt{2}$.
Таким образом, мы получили два выражения для высоты пирамиды: $frac{asqrt{2}}{2}$ и $OMsqrt{2}$. Из этих выражений можно выразить сторону основания пирамиды:
$$frac{asqrt{2}}{2} = OMsqrt{2}$$
$$a = 2OM = 2r$$
Таким образом, сторона основания пирамиды равна удвоенному радиусу основания цилиндра.
Теперь можем вычислить объем пирамиды:
$$V = frac{1}{3}S_{text{осн}}h = frac{1}{3}cdot 16pi cdot frac{r}{2} = frac{8}{3}pi r^3$$
Ответ: $V = frac{8}{3}pi r^3$.
