Вопрос школьника
Основание прямого параллелепипеда — ромб, длина стороны которого равна 4 см, один из углов ромба равен 30°. Вычислите площадь полной поверхности параллелепипеда, если его объем равен 48 см3.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту ромба, а затем вычислить площадь каждой грани параллелепипеда и сложить их.
Высота ромба может быть найдена по формуле:
$h = frac{asqrt{3}}{2}$,
где $a$ — длина стороны ромба.
Подставляя значения, получаем:
$h = frac{4sqrt{3}}{2} = 2sqrt{3}$ см.
Теперь мы можем вычислить площадь каждой грани параллелепипеда.
Площадь основания равна площади ромба:
$S_{осн} = frac{a^2sqrt{3}}{4} = frac{16sqrt{3}}{4} = 4sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь боковой грани равна произведению периметра основания на высоту:
$S_{бок} = 4acdot h = 4cdot 4cdot 2sqrt{3} = 32sqrt{3}$ см$^2$.
Так как у нас 6 граней, то площадь полной поверхности параллелепипеда будет равна:
$S_{полн} = 2S_{осн} + 4S_{бок} = 2cdot 4sqrt{3} + 4cdot 32sqrt{3} = 136sqrt{3}$ см$^2$.
Наконец, мы знаем, что объем параллелепипеда равен 48 см$^3$.
$V = abc$,
где $a$, $b$ и $c$ — длины сторон параллелепипеда.
Так как у нас ромбическое основание, то $a = b$.
$V = a^2c = 48$ см$^3$.
Отсюда:
$c = frac{48}{a^2}$.
Подставляя значение $a = 4$ см, получаем:
$c = frac{48}{16} = 3$ см.
Таким образом, размеры параллелепипеда равны:
$a = b = 4$ см,
$c = 3$ см.
И площадь полной поверхности параллелепипеда равна:
$S_{полн} = 136sqrt{3}$ см$^2$.
