Вопрос школьника
Основание прямой призмы ABCA1B1C1 — равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (ABC = 90°). Двугранный угол C1ABC равен 60°. Вычислите площадь сечения призмы плоскостью 1ABС1, если AC = 4√2 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту треугольника ABC и длину его боковой стороны AB, а затем использовать эти значения для вычисления площади сечения призмы.
Из условия задачи мы знаем, что треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником, то есть у него две равные катеты AC и BC, и гипотенуза AB равна AC√2. Также нам дано, что угол C1ABC равен 60°.
Используя теорему косинусов для треугольника ABC, мы можем найти длину катета AC:
AC² = AB² — BC²
AC² = (AC√2)² — (AC)²
AC² = 2AC² — AC²
AC² = AC²
AC = 4√2 см
Теперь мы можем найти высоту треугольника ABC, используя теорему Пифагора:
h² = AB² — AC²
h² = (AC√2)² — (AC)²
h² = 8AC² — 16
h = √(8AC² — 16) см
Далее, мы можем найти длину боковой стороны AB, используя теорему Пифагора для треугольника C1ABC:
AB² = AC² + BC² — 2AC·BC·cos(C1ABC)
AB² = (4√2)² + (4√2)² — 2·4√2·4√2·cos(60°)
AB² = 32 — 32·1/2
AB² = 16
AB = 4 см
Теперь мы можем вычислить площадь сечения призмы плоскостью 1ABС1. Эта плоскость проходит через вершины A, B и C1, поэтому она является прямоугольным треугольником со сторонами AB и h:
S = 1/2·AB·h
S = 1/2·4·√(8AC² — 16)
S = 2√(8AC² — 16) см²
Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью 1ABС1 равна 2√(8AC² — 16) см².
