Вопрос школьника
Основание прямой призмы — квадрат, а ее боковые ребра в два раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равен 2√3 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту призмы и длину бокового ребра. Затем мы можем использовать формулу для объема прямоугольной призмы: $V = S_{text{осн}} cdot h$, где $S_{text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.
Пусть сторона основания квадрата равна $a$. Тогда длина бокового ребра равна $2a$, так как она в два раза больше стороны основания. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра. Это сечение будет прямоугольником со сторонами $a$ и $2sqrt{3}$ (так как радиус описанной окружности равен $2sqrt{3}$, то диагональ прямоугольника равна $2sqrt{3}$). По теореме Пифагора находим, что высота этого прямоугольника равна $sqrt{(2sqrt{3})^2 — a^2} = sqrt{12 — a^2}$.
Теперь мы можем найти объем призмы: $V = S_{text{осн}} cdot h = a^2 cdot sqrt{12 — a^2}$. Осталось только подставить значение $a$ и вычислить:
$V = (2sqrt{3})^2 cdot sqrt{12 — (2sqrt{3})^2} = 12sqrt{3}$ куб. см.
Ответ: объем призмы равен $12sqrt{3}$ куб. см.
