Вопрос школьника
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник, длины катетов которого 3 см и 4 см. Высота призмы равна 2 см. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в призму.
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо найти гипотенузу прямоугольного треугольника, которая будет являться ребром основания прямой призмы. Используя теорему Пифагора, находим:
гипотенуза = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см
Таким образом, ребро основания прямой призмы равно 5 см.
Далее, необходимо найти радиус вписанного цилиндра. Для этого воспользуемся формулой:
радиус = полупериметр основания призмы / π
Полупериметр основания призмы равен (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см. Тогда радиус вписанного цилиндра будет:
радиус = 6 / π ≈ 1.91 см
Наконец, найдем площадь полной поверхности цилиндра. Она состоит из площади боковой поверхности и двух оснований. Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту цилиндра. Периметр основания равен 3 + 4 + 5 = 12 см. Высота цилиндра равна высоте призмы, то есть 2 см. Тогда площадь боковой поверхности будет:
площадь боковой поверхности = 12 * 2 = 24 см²
Площадь одного основания равна площади прямоугольного треугольника, то есть (3 * 4) / 2 = 6 см². Тогда площадь двух оснований будет:
площадь двух оснований = 2 * 6 = 12 см²
Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна:
площадь полной поверхности = площадь боковой поверхности + площадь двух оснований = 24 + 12 = 36 см²
Ответ: площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в призму, равна 36 см².
