Вопрос школьника
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник. Длины катетов основания и бокового ребра относятся как 1:2:3 соответственно. Вычислите объем шара, описанного около призмы, если объем призмы равен 24 см3.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длины катетов прямоугольного треугольника, который является основанием призмы. Пусть катеты равны x и 2x, а гипотенуза равна 3x. Тогда по теореме Пифагора:
x^2 + (2x)^2 = (3x)^2
5x^2 = 9x^2
4x^2 = 24
x^2 = 6
x = √6
Теперь мы знаем длины катетов основания призмы: x = √6 и 2x = 2√6. Объем призмы равен 24 см3, поэтому:
V = S * h = (x * 2x) * 3x = 6x^3 = 6(√6)^3 = 36√6
Теперь мы можем найти радиус шара, описанного около призмы. Радиус шара равен половине диагонали грани призмы, которая является основанием шара. По теореме Пифагора:
r^2 = (1/2 * √6)^2 + (1/2 * 2√6)^2
r^2 = 3 + 12 = 15
r = √15
Теперь мы можем найти объем шара:
V = (4/3)πr^3 = (4/3)π(√15)^3 ≈ 141,4 см3
Ответ: объем шара, описанного около призмы, равен примерно 141,4 см3.
