Вопрос школьника
Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник. Радиус окружности, описанной около основания призмы, равен 4 см, а угол при его основании равен 30°. Вычислите объем призмы, если ее боковое ребро равно боковой стороне треугольника, служащего основанием призмы.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник, который служит основанием призмы. Пусть его боковая сторона равна $a$, а угол при основании равен $30^circ$. Тогда, по свойствам равнобедренного треугольника, другая сторона также равна $a$, а третья сторона равна $2asin(30^circ)=a$.
Таким образом, основание призмы является равносторонним треугольником со стороной $a$. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен $4$ см. По формуле для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника, имеем $a=frac{2R}{sqrt{3}}=frac{8}{sqrt{3}}$ см.
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания равна $S=frac{a^2sqrt{3}}{4}=frac{32}{3}$ см$^2$. Высота призмы равна боковой стороне треугольника, то есть $h=a=frac{8}{sqrt{3}}$ см.
Таким образом, объем призмы равен $V=Scdot h=frac{32}{3}cdotfrac{8}{sqrt{3}}=frac{256}{3sqrt{3}}approx 49{,}6$ см$^3$.
