Вопрос школьника
Основание прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 — прямоугольный треугольник. Вычислите объем призмы, если длины катетов АС и ВС треугольника ABC равны соответственно 3 см и 4 см, а длина диагонали большей грани призмы равна 5√2 см (рис. 55, а).
Ответ от учителя
Прямая треугольная призма — это призма, у которой основание является прямоугольным треугольником. В данном случае, основание призмы — треугольник ABC, где AC и BC являются катетами, а AB — гипотенузой.
Для вычисления объема призмы необходимо умножить площадь основания на высоту призмы. Высота призмы равна расстоянию между основаниями, то есть AB и A1B1. Так как треугольник ABC — прямоугольный, то по теореме Пифагора AB = √(AC² + BC²) = √(3² + 4²) = 5 см.
Также из условия задачи известна длина диагонали большей грани призмы, которая равна 5√2 см. Эта диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника A1B1C1, поэтому можно записать уравнение:
A1B1² + B1C1² = (5√2)²
Так как A1B1 = AB = 5 см, то B1C1 можно найти, используя теорему Пифагора:
B1C1² = (5√2)² — A1B1² = 50 — 25 = 25
B1C1 = 5 см
Теперь можно найти высоту призмы:
h = A1B1 = AB = 5 см
Площадь основания равна:
S = 1/2 * AC * BC = 1/2 * 3 * 4 = 6 см²
Таким образом, объем призмы равен:
V = S * h = 6 * 5 = 30 см³
Ответ: объем призмы равен 30 см³.
