Вопрос школьника
Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат, а боковое ребро параллелепипеда в два раза больше стороны основания. Вычислите периметр сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершины А1 С1 и середину ребра AD, если объем параллелепипеда равен 54 см3.
Ответ от учителя
Первым шагом необходимо найти размеры прямоугольного параллелепипеда. Обозначим сторону основания квадрата через $a$, тогда боковое ребро равно $2a$. Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты, то есть $V=a^2cdot 2a=2a^3$. Из условия задачи известно, что $V=54$, следовательно, $2a^3=54$ и $a^3=27$. Отсюда находим, что $a=3$.
Далее, необходимо найти координаты вершин параллелепипеда. Так как основание квадрат, то координаты вершин $A$, $B$, $C$ и $D$ можно выбрать следующим образом: $A(0,0,0)$, $B(3,0,0)$, $C(3,3,0)$, $D(0,3,0)$. Координаты вершин $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ можно найти, зная, что боковое ребро в два раза больше стороны основания. Таким образом, координаты вершин $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ равны: $A_1(0,0,6)$, $B_1(3,0,6)$, $C_1(3,3,6)$, $D_1(0,3,6)$.
Для нахождения периметра сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AD$, необходимо найти координаты точки пересечения этой плоскости с ребром $AD$. Середина ребра $AD$ имеет координаты $(0,1.5,0)$, а уравнение плоскости можно записать в виде $z=6-frac{3}{2}y$. Подставляя координаты середины ребра $AD$ в уравнение плоскости, получаем, что точка пересечения имеет координаты $(0,1.5,3)$.
Далее, необходимо найти координаты точек пересечения плоскости с ребрами параллелепипеда. Плоскость проходит через вершины $A_1$ и $C_1$, поэтому точки пересечения с ребрами $A_1B_1$ и $C_1D_1$ имеют координаты $(1.5,0,6)$ и $(1.5,3,6)$ соответственно. Плоскость также проходит через точку $(0,1.5,3)$, поэтому точки пересечения с ребрами $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ имеют координаты $(0,1.5,0)$, $(3,1.5,0)$, $(3,1.5,6)$ и $(0,1.5,6)$ соответственно.
Теперь можно найти длины отрезков, соединяющих точки пересечения плоскости с ребрами параллелепипеда, и сложить их, чтобы найти периметр сечения. Длины отрезков равны: $AC_1=3sqrt{2}$, $A_1B_1=3sqrt{2}$, $C_1D_1=3sqrt{2}$, $AB=3$, $BC=3sqrt{2}$, $CD=3$, $DA=3sqrt{2}$. Следовательно, периметр сечения равен $3+6sqrt{2}+3sqrt{2}+3+3sqrt{2}+3sqrt{2}+3sqrt{2}=12+18sqrt{2}$. Ответ: $12+18sqrt{2}$ см.
