Вопрос школьника
Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — квадрат, сторона которого в три раза меньше его бокового ребра. Вычислите объем призмы ABDA1В1D1 если площадь поверхности параллелепипеда равна 56 см2.
Ответ от учителя
Пусть сторона квадрата, являющегося основанием параллелепипеда, равна a. Тогда боковое ребро параллелепипеда равно 3a, а его площадь поверхности равна:
S = 2(ab + ac + bc) = 56,
где a, b и c — длины сторон основания параллелепипеда.
Так как основание является квадратом, то a = b = c/√2. Подставляя это выражение в уравнение для площади поверхности, получаем:
2(a^2 + 2ac/√2) = 56,
a^2 + ac/√2 = 28.
Также из условия задачи следует, что a = c/3, поэтому:
a^2 + a^2/3√2 = 28,
4a^2/3√2 = 28,
a^2 = 21√2.
Объем призмы ABDA1В1D1 равен произведению площади основания на высоту. Высота призмы равна высоте параллелепипеда и равна c. Так как a = c/3, то c = 3a = 3√(21√2). Площадь основания призмы равна a^2 = 21√2. Поэтому объем призмы равен:
V = S_osn * h = a^2 * c = 21√2 * 3√(21√2) = 189.
