Вопрос школьника
Основание равнобедренного треугольника равна 20 см, а его медиана делит данный треугольник на два треугольника так, что периметр одного из них на 6 см меньше периметра второго. Найдите боковую сторону данного треугольника. Сколько решений имеет задача?
Ответ от учителя
Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x$ см. Тогда, по теореме Пифагора, высота равна $sqrt{x^2 — 10^2}$ см (где 10 см — половина основания). Медиана равна $frac{sqrt{2x^2 + 2 cdot 10^2}}{2}$ см.
Так как медиана делит треугольник на две равные части, то каждый из треугольников имеет площадь $frac{1}{2} cdot frac{sqrt{2x^2 + 2 cdot 10^2}}{2} cdot sqrt{x^2 — 10^2}$ кв.см.
Так как периметр одного из треугольников на 6 см меньше периметра другого, то можно записать уравнение:
$2x + sqrt{2x^2 + 2 cdot 10^2} — 6 = 2x + sqrt{2x^2 + 2 cdot 10^2} + 6$
Решив его, получим:
$sqrt{2x^2 + 2 cdot 10^2} = 12$
$2x^2 + 2 cdot 10^2 = 12^2$
$2x^2 = 104$
$x^2 = 52$
$x = sqrt{52} approx 7.21$ см
Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника равна примерно 7.21 см.
Задача имеет только одно решение, так как уравнение имеет только один корень.
