Вопрос школьника
Основание трапеции ABCD является диаметром описанной около нее окружности. Серединный перпендикуляр l к боковой стороне АВ пересекает окружность в точке F. Вычислите расстояние от вершины В до точки F, если угол ADC = 60°, а радиус окружности равен 2 см (рис. 63, б).
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник $ABF$. Так как $AF$ является радиусом описанной окружности, то $AF=BF=2$ см. Также заметим, что угол $ABF$ равен половине угла $ADC$, то есть $ABF=30^circ$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$, где $E$ — середина стороны $CD$. Так как $ABparallel CD$, то угол $AEB$ прямой. Также заметим, что $AE=BE$, так как $E$ — середина стороны $CD$, а $ABCD$ — трапеция.
Таким образом, мы получили два прямоугольных треугольника $ABF$ и $ABE$, в которых известны гипотенузы и углы между гипотенузой и катетом. Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения катетов.
В треугольнике $ABF$:
$$tan angle ABF = frac{BF}{AF}=frac{2}{2}=1$$
Отсюда получаем, что $angle ABF = 45^circ$. Тогда в треугольнике $ABE$:
$$tan angle AEB = tan (45^circ — 30^circ) = frac{tan 45^circ — tan 30^circ}{1+tan 45^circ cdot tan 30^circ}=frac{1-frac{1}{sqrt{3}}}{1+frac{1}{sqrt{3}}}=2-sqrt{3}$$
Так как $AE=BE$, то расстояние от точки $B$ до точки $F$ равно расстоянию от точки $E$ до точки $F$. Обозначим это расстояние как $EF$. Тогда в треугольнике $ABF$:
$$tan angle AFB = tan (45^circ + 30^circ) = frac{tan 45^circ + tan 30^circ}{1-tan 45^circ cdot tan 30^circ}=frac{1+frac{1}{sqrt{3}}}{1-frac{1}{sqrt{3}}}=sqrt{3}+1$$
Отсюда получаем, что $EF=BF cdot tan angle AFB = 2(sqrt{3}+1)$.
Итак, расстояние от вершины $B$ до точки $F$ равно $EF=2(sqrt{3}+1)$ см.
