Вопрос школьника
Основанием конуса служит большой круг шара, а его высотой является радиус АО, перпендикулярный плоскости большого круга. Вычислите площадь сферы, которая служит границей шара, если площадь боковой поверхности конуса равна 2п см2 (рис. 101, в).
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо использовать формулы для площади боковой поверхности конуса и площади поверхности сферы.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
Sб = πrL,
где r — радиус основания конуса, L — образующая конуса.
Высота конуса равна радиусу АО, поэтому образующая конуса равна √(r² + h²), где h — высота конуса.
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна:
Sб = πr√(r² + h²) = 2π.
Решая уравнение относительно r, получаем:
r = √(4/(π² + 1)).
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:
Sсф = 4πr².
Подставляя значение r, получаем:
Sсф = 4π(4/(π² + 1)) = 16π/(π² + 1) ≈ 5,09 см².
Таким образом, площадь сферы, которая служит границей шара, равна примерно 5,09 см².
