Вопрос школьника
Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна 1 см2. Вычислите объем пирамиды, если две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом 30° и 60°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо знать формулу для вычисления объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h,
где V — объем пирамиды, S — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды.
Из условия задачи известна площадь основания пирамиды — 1 см2. Нам также нужно найти высоту пирамиды.
Для этого рассмотрим боковую грань пирамиды, которая наклонена к основанию под углом 30°. Эта грань является прямоугольным треугольником, у которого катет, соответствующий углу 30°, равен половине стороны основания пирамиды (так как угол между этим катетом и основанием равен 60°). Поэтому, если обозначить сторону основания пирамиды через a, то катет этого треугольника равен a/2.
Таким образом, мы получаем, что высота пирамиды равна h = a/2 * tg(30°) + a * tg(60°).
Подставляя известные значения в формулу для объема пирамиды, получаем:
V = (1/3) * 1 * (a/2 * tg(30°) + a * tg(60°)).
Данное выражение можно упростить, используя тригонометрические тождества:
tg(30°) = 1/√3, tg(60°) = √3.
Тогда:
V = (1/3) * 1 * (a/2 * 1/√3 + a * √3) = (1/6) * a * (1/√3 + 2√3) = (1/6) * a * (2 + √3) ≈ 0,481 a.
Таким образом, объем пирамиды равен примерно 0,481 кубическому сантиметру, где a — сторона прямоугольника, являющегося основанием пирамиды.
