Вопрос школьника
Основанием пирамиды является трапеция, длины параллельных сторон которой равны а и 2а, а один из ее углов равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота а/2, а боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти боковую поверхность пирамиды, то есть площадь всех ее боковых граней.
Для начала найдем высоту трапеции. Разделим ее на две равные части, проведя медиану из вершины, образующей угол 60°. Получим прямоугольный треугольник со сторонами a, а/2 и h (высота трапеции). Используя теорему Пифагора, найдем высоту:
h^2 = (a/2)^2 + a^2 — (a/2)^2 = 3a^2/4
h = √(3a^2/4) = a√3/2
Теперь найдем боковую грань пирамиды. Она является треугольником, образованным боковым ребром пирамиды, высотой трапеции и одной из боковых сторон трапеции. Рассмотрим треугольник со сторонами a, a√3/2 и b (боковое ребро пирамиды). Используя теорему косинусов, найдем длину бокового ребра:
b^2 = a^2 + (a√3/2)^2 — 2a(a√3/2)cos(60°) = 7a^2/4
b = √(7a^2/4) = a√7/2
Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Она состоит из четырех треугольников, каждый из которых имеет площадь:
S = (1/2)bh = (1/2)(a√3/2)(a√7/2) = (3/4)a^2√7
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 3a^2√7/2.
