Вопрос школьника
Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник ABC, в котором угол C = 90°, угол A = 60°, а длина биссектрисы AF равна 4 см. Вычислите площадь грани АА1B1B, если радиус описанной около этой грани окружности равен 4 см (рис. 80, а, б).
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длину сторон треугольника ABC и высоту, опущенную на сторону AB. Затем мы сможем найти площадь треугольника ABC и длину стороны грани АА1B1B, используя радиус описанной около этой грани окружности.
Из угла A = 60° следует, что угол B = 180° — 90° — 60° = 30°. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным с гипотенузой AC и катетами AB и BC.
По теореме синусов в треугольнике ABC:
AC/sinC = AB/sinB
AC/sin90° = AB/sin30°
AC = AB·sin30° = AB/2
По теореме Пифагора в треугольнике ABC:
AC² = AB² + BC²
AB²/4 = AB² — BC²
BC² = 3AB²/4
Таким образом, мы нашли длины сторон треугольника ABC:
AC = AB/2
BC = √(3AB²/4) = AB/2·√3
Высота, опущенная на сторону AB, равна:
h = AC·sin60° = AB/4·√3
Площадь треугольника ABC равна:
S = AB·BC/2 = AB²/4·√3
Радиус описанной около грани АА1B1B окружности равен 4 см, значит, длина стороны грани равна 8 см (диаметр окружности). По теореме Пифагора в треугольнике АА1B1B:
AA1² = AB1² + AB²/4
AB1² = AA1² — AB²/4
Таким образом, мы нашли длину стороны грани АА1B1B:
AB1 = √(AA1² — AB²/4) = √(16 — AB²/4)
Наконец, площадь грани АА1B1B равна:
S1 = AB·AB1/2 = AB²/4·√(16 — AB²/4)
Заменяем AB²/4 на BC²/3, используя найденное ранее значение BC:
S1 = BC²/12·√(16 — BC²/3) = AB²/3·√(16 — AB²/3)
Таким образом, мы нашли площадь грани АА1B1B, используя данные о треугольнике ABC и радиусе описанной около грани окружности.
