Вопрос школьника
Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный прямоугольный треугольник АВС. Вычислите сумму площадей боковых граней призмы, если площадь круга, описанного около основания призмы, равна 16 π см2, а боковое ребро равно радиусу этого круга
Ответ от учителя
Поскольку основание призмы является равнобедренным прямоугольным треугольником, то его площадь равна:
S_осн = (AB * AC) / 2
где AB и AC — катеты треугольника.
Так как треугольник АВС — прямоугольный и равнобедренный, то его катеты равны:
AB = AC = a
а гипотенуза равна:
BC = a * sqrt(2)
Тогда площадь основания призмы будет:
S_осн = (a * a) / 2 = a^2 / 2
Так как основание призмы является прямоугольным, то боковые грани призмы являются прямоугольными треугольниками, высота которых равна боковому ребру, а катеты равны сторонам основания. Тогда площадь каждой боковой грани будет:
S_бок = (a * h) / 2 = (a * a) / 2
где h — высота боковой грани, равная боковому ребру.
Таким образом, сумма площадей боковых граней призмы будет:
S_бок_всех = 2 * S_бок = 2 * (a^2 / 2) = a^2
Также из условия задачи известно, что площадь круга, описанного около основания призмы, равна 16π см2, а боковое ребро равно радиусу этого круга. Тогда:
π * r^2 = 16π
r^2 = 16
r = 4 см
Так как боковое ребро равно радиусу круга, то:
a = r = 4 см
Тогда сумма площадей боковых граней призмы будет:
S_бок_всех = a^2 = 4^2 = 16 см^2
Ответ: сумма площадей боковых граней призмы равна 16 см^2.
