Вопрос школьника
Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат ABCD. Точка K лежит на отрезке AC так, что АК :КС =1:3. Вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной прямой AC, если AD = 4 см, AC1 = 4√6 см.
Ответ от учителя
Поскольку основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат ABCD, то AB = BC = CD = DA = x, где x — длина стороны квадрата. Также из условия известно, что AD = 4 см и AC1 = 4√6 см.
Рассмотрим треугольник ACK. По условию АК : КС = 1 : 3, следовательно, АК = x/4, КС = 3x/4. Также из этого же треугольника можно выразить длину отрезка CK, применив теорему Пифагора:
CK^2 = AK^2 + AC^2 = (x/4)^2 + (3x/4)^2 = 5x^2/16
Отсюда CK = x√5/4.
Построим плоскость, проходящую через точку K и перпендикулярную прямой AC. Эта плоскость будет параллельна плоскости ABCD, так как она перпендикулярна прямой AC, лежащей в плоскости ABCD. Следовательно, сечение параллелепипеда этой плоскостью будет прямоугольником со сторонами CK и AD.
Площадь этого прямоугольника равна S = CK * AD = x√5/4 * 4 = x√5.
Осталось выразить x через AC1. Рассмотрим треугольник ACD1. Применим теорему Пифагора:
AC1^2 = AD1^2 + CD1^2 = (AD + x)^2 + (x√2)^2 = 16 + 10x^2
Отсюда x^2 = (AC1^2 — 16)/10, и x = √((AC1^2 — 16)/10).
Подставляем это выражение для x в формулу для площади прямоугольника:
S = x√5 = √((AC1^2 — 16)/10) * √5 = √((5AC1^2 — 80)/50) = √(AC1^2/10 — 8)
Ответ: S = √(AC1^2/10 — 8) кв. см.
