Вопрос школьника
Основания прямоугольной трапеции равны 36 см и 45 см, а высота — 40 см. Можно ли в данную трапецию вписать окружность
Ответ от учителя
Для того чтобы понять, можно ли вписать окружность в данную прямоугольную трапецию, нужно вспомнить свойство вписанной окружности. Оно заключается в том, что центр вписанной окружности лежит на пересечении диагоналей трапеции, а ее радиус равен половине суммы оснований, деленной на разность этих оснований.
В нашем случае, диагонали трапеции можно найти с помощью теоремы Пифагора:
$d_1 = sqrt{h^2 + (frac{a-b}{2})^2} = sqrt{40^2 + (frac{45-36}{2})^2} = sqrt{40^2 + 20^2} = 44.72 text{ см}$
$d_2 = sqrt{h^2 + (frac{a+b}{2})^2} = sqrt{40^2 + (frac{45+36}{2})^2} = sqrt{40^2 + 40.5^2} = 57.03 text{ см}$
где $h$ — высота трапеции, $a$ и $b$ — основания трапеции.
Теперь найдем сумму и разность оснований:
$a+b = 36+45 = 81 text{ см}$
$a-b = 45-36 = 9 text{ см}$
И по формуле для радиуса вписанной окружности получаем:
$r = frac{a+b}{2} = frac{81}{2} = 40.5 text{ см}$
Таким образом, мы получили, что диагонали трапеции не равны, а радиус вписанной окружности равен половине суммы оснований. Следовательно, в данную трапецию нельзя вписать окружность.
