Вопрос школьника
Основания прямоугольной трапеции равны 8 см и 12 см, большая диагональ равна 13 см. Найдите боковые стороны трапеции.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.
Обозначим боковые стороны трапеции через a и b. Так как трапеция прямоугольная, то ее диагонали являются высотой и основанием прямоугольного треугольника. Поэтому мы можем записать следующее:
a^2 + h^2 = 13^2 (1)
b^2 + h^2 = c^2 (2)
где h — высота трапеции, c — меньшая диагональ трапеции.
Также мы знаем, что основания трапеции равны 8 см и 12 см. Поэтому мы можем записать:
a + b = 12 (3)
Решим систему уравнений (1), (2) и (3) относительно a и b.
Из уравнения (1) получаем:
h^2 = 13^2 — a^2
Из уравнения (2) получаем:
b^2 + h^2 = c^2
b^2 + 13^2 — a^2 = c^2
Из уравнения (3) получаем:
b = 12 — a
Подставляем выражение для h^2 из уравнения (1) в уравнение (2):
b^2 + 13^2 — a^2 = c^2
b^2 + 169 — a^2 = c^2
(12 — a)^2 + 169 — a^2 = c^2
144 — 24a + a^2 + 169 — a^2 = c^2
313 — 24a = c^2
Теперь мы можем записать уравнение (1) в виде:
a^2 + (13^2 — c^2) = 169
a^2 = c^2 — 144
Подставляем это выражение для a^2 в уравнение (3):
b^2 = 144 — a^2
b^2 = 144 — (c^2 — 144)
b^2 = 288 — c^2
Теперь мы получили два уравнения:
313 — 24a = c^2
b^2 = 288 — c^2
Решим их относительно c^2:
c^2 = 313 — 24a
c^2 = 288 — b^2
Приравняем правые части:
313 — 24a = 288 — b^2
24a — b^2 = 25
Таким образом, мы получили систему уравнений:
a + b = 12
24a — b^2 = 25
Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим b:
b = 12 — a
Подставляем это выражение во второе уравнение:
24a — (12 — a)^2 = 25
24a — (144 — 24a + a^2) = 25
48a — a^2 = 169
a^2 — 48a + 169 = 0
(a — 13)^2 = 0
Отсюда получаем, что a = 13. Подставляем это значение в первое уравнение:
13 + b = 12
b = -1
Получили отрицательное значение для b, что невозможно. Значит, решения у этой системы уравнений нет.
Ответ: решения нет.
