Вопрос школьника
Основания высот AA₁ и BB₁ треугольника ABC лежат на его сторонах, ∠CAA₁ = ∠ABB₁. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник ABC является равнобедренным, нужно показать, что его боковые стороны AB и AC равны между собой.
Из условия задачи известно, что основания высот AA₁ и BB₁ лежат на сторонах треугольника ABC. Пусть точка H – точка пересечения высот треугольника ABC.
Так как ∠CAA₁ = ∠ABB₁, то треугольники CAA₁ и BAA₁ подобны. Это означает, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:
CA / BA = A₁C / A₁B
Также из подобия треугольников CAA₁ и BAA₁ следует, что ∠A₁CA = ∠A₁BA. Это означает, что треугольники A₁CH и A₁BH подобны. Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников также пропорциональны:
A₁C / A₁B = CH / BH
Совместив эти два уравнения, получаем:
CA / BA = CH / BH
Отсюда следует, что боковые стороны AB и AC равны между собой:
AB = AC
Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.
