Вопрос школьника
Остача при діленні натурального числа а на 3 дорівнює 1, а остача при діленні натурального числа b на 9 дорівнює 7. Доведіть, що значення виразу 4а + 2b ділиться націло на 3
Ответ от учителя
Для того, щоб довести, що вираз 4а + 2b ділиться націло на 3, необхідно і достатньо довести, що сума 4а і 2b ділиться націло на 3.
За умовою задачі, остача при діленні числа а на 3 дорівнює 1, тобто а можна записати у вигляді а = 3k + 1, де k — ціле число. Аналогічно, остача при діленні числа b на 9 дорівнює 7, тобто b можна записати у вигляді b = 9m + 7, де m — ціле число.
Тоді вираз 4а + 2b можна записати у вигляді:
4а + 2b = 4(3k + 1) + 2(9m + 7) = 12k + 4 + 18m + 14 = 12k + 18m + 18
Зауважимо, що 12k і 18m діляться націло на 3, оскільки кожне з них містить множник 3. Тому, щоб довести, що вираз 4а + 2b ділиться націло на 3, достатньо довести, що остача від ділення числа 18 на 3 дорівнює 0.
Оскільки 18 ділиться націло на 3, то його остача від ділення на 3 дорівнює 0. Отже, вираз 4а + 2b ділиться націло на 3, що і було потрібно довести.
