Вопрос школьника
Остача при діленны деякого натурального числа на 11 дорівнюэ 6. Чому дорівнюэ остача при діленні на 11 квадрата цього числа?
Ответ от учителя
При діленні будь-якого натурального числа на 11 можуть бути 11 можливих остач: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Оскільки остача при діленні деякого натурального числа на 11 дорівнює 6, то ми можемо записати це у вигляді рівності:
n = 11k + 6,
де n — деяке натуральне число, а k — ціле число.
Тепер розглянемо квадрат цього числа:
n^2 = (11k + 6)^2 = 121k^2 + 132k + 36.
Розглянемо остачу від ділення n^2 на 11:
n^2 mod 11 = (121k^2 + 132k + 36) mod 11.
За правилом ділення за модулем, ми можемо розділити кожен доданок на 11 і записати:
n^2 mod 11 = (11*11k^2 + 12*11k + 3*11 + 3) mod 11.
Тепер ми можемо замінити 11*11k^2 і 12*11k на 0, оскільки вони діляться на 11 без остачі:
n^2 mod 11 = (3*11 + 3) mod 11.
Знову за правилом ділення за модулем, ми можемо розділити кожен доданок на 11 і записати:
n^2 mod 11 = 0 + 3 mod 11 = 3.
Отже, остача при діленні на 11 квадрата деякого натурального числа, яке має остачу 6 при діленні на 11, дорівнює 3.
