Вопрос школьника
Остача при діленої натурального числа m на 11 дорівнює 9, а остача при діленні натурального числа n на 11 дорівнює 5. Доведіть, що остача при діленні добутку чисел m і n на 11 дорівнює 1.
Ответ от учителя
Для того, чтобы доказать, что остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1, нужно воспользоваться свойствами остатков при делении.
Из условия задачи известно, что остаток при делении числа m на 11 равен 9, то есть m = 11k + 9, где k — некоторое натуральное число. Аналогично, остаток при делении числа n на 11 равен 5, то есть n = 11l + 5, где l — некоторое натуральное число.
Тогда произведение чисел m и n можно записать как:
mn = (11k + 9)(11l + 5) = 121kl + 55k + 99l + 45
Заметим, что первые два слагаемых 121kl и 55k делятся на 11 без остатка, так как содержат множитель 11. Аналогично, последние два слагаемых 99l и 45 делятся на 11 без остатка, так как содержат множитель 11.
Таким образом, остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен остатку от деления суммы 55k и 99l на 11. Но сумма 55k и 99l равна 11(5k + 9l) + 1, то есть имеет остаток 1 при делении на 11.
Следовательно, остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1, что и требовалось доказать.