Вопрос школьника
Остаток при делении натурального числа а на 8 равен 3, а остаток при делении натурального числа b на 8 равна 7. Докажите, что остаток при делении произведения чисел а и b на 8 равна 5.
Ответ от учителя
Пусть $a=8k+3$ и $b=8m+7$, где $k$ и $m$ — некоторые натуральные числа. Тогда произведение $ab$ можно записать как:
$$ab=(8k+3)(8m+7)=64km+24k+56m+21$$
Заметим, что первые три слагаемых делятся на 8 без остатка, так как каждое из них содержит множитель 8. Остается рассмотреть последнее слагаемое $21$.
Для того, чтобы доказать, что остаток при делении $ab$ на 8 равен 5, нужно показать, что $21$ даёт остаток 5 при делении на 8. Действительно, $21=2cdot8+5$, то есть $21$ даёт остаток 5 при делении на 8.
Таким образом, мы доказали, что остаток при делении произведения чисел $a$ и $b$ на 8 равен 5.
