Вопрос школьника
Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны 2, 3 и 4; 4, 5 и 6; 1, 2 и √3?
Ответ от учителя
Для определения типа треугольника необходимо использовать теорему косинусов, которая гласит:
a^2 = b^2 + c^2 — 2bc*cos(alpha)
где a, b, c — длины сторон треугольника, а alpha — угол между сторонами b и c.
1) Для треугольника со сторонами 2, 3 и 4:
a^2 = 3^2 + 4^2 — 2*3*4*cos(alpha)
a^2 = 9 + 16 — 24*cos(alpha)
a^2 = 25 — 24*cos(alpha)
cos(alpha) = (25 — a^2) / (24)
Так как косинус угла не может быть больше 1, то треугольник является тупоугольным, если:
(25 — a^2) / (24) < 0 a^2 > 25
a > 5
Таким образом, треугольник со сторонами 2, 3 и 4 является тупоугольным.
2) Для треугольника со сторонами 4, 5 и 6:
a^2 = 5^2 + 6^2 — 2*5*6*cos(alpha)
a^2 = 25 + 36 — 60*cos(alpha)
a^2 = 61 — 60*cos(alpha)
cos(alpha) = (61 — a^2) / (60)
Так как косинус угла не может быть больше 1, то треугольник является тупоугольным, если:
(61 — a^2) / (60) < 0 a^2 > 61
a > sqrt(61)
Таким образом, треугольник со сторонами 4, 5 и 6 является тупоугольным.
3) Для треугольника со сторонами 1, 2 и sqrt(3):
a^2 = 2^2 + sqrt(3)^2 — 2*2*sqrt(3)*cos(alpha)
a^2 = 4 + 3 — 4*sqrt(3)*cos(alpha)
a^2 = 7 — 4*sqrt(3)*cos(alpha)
cos(alpha) = (7 — a^2) / (4*sqrt(3))
Так как косинус угла не может быть больше 1, то треугольник является тупоугольным, если:
(7 — a^2) / (4*sqrt(3)) < 0 a^2 > 7
a > sqrt(7)
Таким образом, треугольник со сторонами 1, 2 и sqrt(3) является тупоугольным.
