Вопрос школьника
Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ от учителя
Пусть параллелограмм ABCD имеет острый угол в точке A, а высоты, проведенные из вершины D, равны 2 см и 3 см (см. рисунок).
[asy]
pair A,B,C,D,E,F;
A=(0,0);
B=(3,0);
C=(4,2);
D=(1,2);
E=(1,0);
F=(4,0);
draw(A—B—C—D—cycle);
draw(D—E);
draw(D—F);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,NE);
label(«$D$»,D,N);
label(«$E$»,E,S);
label(«$F$»,F,S);
[/asy]
Так как угол A параллелограмма равен 30°, то угол B параллелограмма также равен 30° (так как сумма углов при вершине параллелограмма равна 180°). Значит, треугольник ABD является равнобедренным, и высота, проведенная из вершины A, является биссектрисой угла BAC.
Обозначим высоту, проведенную из вершины A, через h. Тогда, так как треугольник ABD равнобедренный, то BD = AD = h. Также, так как угол B параллелограмма равен 30°, то угол ABD равен 75° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Значит, угол BAD равен 105°.
Теперь мы можем найти длину отрезка AB, используя теорему синусов в треугольнике ABD:
$$frac{h}{sin 75^circ} = frac{AB}{sin 30^circ}$$
Отсюда:
$$AB = frac{h sin 30^circ}{sin 75^circ} = frac{h}{2 sin 75^circ}$$
Аналогично, используя теорему синусов в треугольнике ACD, мы можем найти длину отрезка AC:
$$frac{h}{sin 105^circ} = frac{AC}{sin 30^circ}$$
Отсюда:
$$AC = frac{h sin 30^circ}{sin 105^circ}$$
Теперь мы можем найти площадь параллелограмма ABCD, используя формулу для площади параллелограмма через длины его сторон и угол между ними:
$$S = AB cdot AC cdot sin 30^circ = frac{h^2}{4 sin 75^circ sin 105^circ}$$
Подставляя значения углов и длин высот, получаем:
$$S = frac{2^2}{4 sin 75^circ sin 105^circ} + frac{3^2}{4 sin 75^circ sin 105^circ} = frac{13}{4 sin 75^circ sin 105^circ} approx 6.02 text{ см}^2$$
Ответ: площадь параллелограмма равна примерно 6.02 квадратных сантиметра.
