Вопрос школьника
Острый угол равнобочной трапеции равен 75°. Прямые, проходящие через концы одного основания трапеции параллельно противоположным боковым сторонам, пересекаются на окружности, описанной около трапеции. Найдите отношение оснований трапеции.
Ответ от учителя
Рассмотрим данную трапецию ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны. Пусть угол BCD равен α, тогда угол BDC также равен α, так как треугольник BCD равнобедренный. Также, угол BAC равен 180° — 2α, так как сумма углов треугольника ABC равна 180°.
Пусть прямые, проходящие через концы основания AB и параллельные боковым сторонам BC и AD, пересекаются в точке O на окружности, описанной около трапеции. Тогда угол BOC равен 180° — α, так как он опирается на дугу AC, которая равна углу BAC. Аналогично, угол AOD также равен 180° — α.
Так как угол BCD равен 75°, то α = (180° — 75°)/2 = 52.5°. Тогда угол BOC и угол AOD равны 127.5°.
Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как угол BOC равен углу BDC, который равен α. Тогда BO = CO. Аналогично, в треугольнике AOD AO = DO.
Так как точка O лежит на окружности, то BO*CO = AO*DO. Заменив BO и CO на их равные значения, получим AB^2 = CD^2*(AO/DO). Так как AO = DO, то AB = CD.
Отсюда следует, что трапеция ABCD является равнобокой трапецией, то есть отношение ее оснований равно 1:1.
