Вопрос школьника
От груза, висящего на пружине жесткости k, отрывается часть массы m. На какую высоту поднимется после этого оставшаяся часть груза?
Ответ от учителя
При отрыве части массы m от груза, система становится двухмассовой: оставшаяся часть груза и оторвавшаяся часть массы m. После отрыва, пружина начинает колебаться с новой жесткостью k’, которая меньше исходной жесткости k, так как масса системы уменьшилась.
Найдем новую жесткость пружины k’. Для этого воспользуемся законом Гука:
F = kx,
где F — сила, действующая на пружину, x — ее деформация, k — жесткость пружины.
Перед отрывом части массы m, система находилась в равновесии, то есть сила тяжести груза равнялась силе упругости пружины:
mg = kx,
где g — ускорение свободного падения.
После отрыва, на оставшуюся часть груза действует только сила тяжести, а на пружину — сила, равная силе упругости:
mg’ = k’x’,
где g’ — ускорение свободного падения для оставшейся части груза, x’ — деформация пружины после отрыва.
Так как масса системы уменьшилась на m, то:
g’ = g(1 — m/M),
где M — исходная масса системы (груз целиком).
Также из закона сохранения энергии можно записать:
mgx = (mg’ + mgh) + (k’x’^2)/2,
где h — высота, на которую поднимется оторвавшаяся часть массы m.
Решая систему уравнений, получаем:
k’ = k(M — m)/M,
x’ = x(M/m),
h = (m/M)gx.
Таким образом, оставшаяся часть груза поднимется на высоту h = (m/M)gx.
