Вопрос школьника
От точки А, взятой на некоторой прямой, отложены в одном направлении два отрезка АВ и АС, причём АВ = 60 мм, АС = 100 мм. Найдите: а) длину отрезка ВС; б) расстояние от точки А до середины отрезка ВС; в) расстояние между серединами отрезков АВ и АС.
Ответ от учителя
а) Длина отрезка ВС равна разности длин отрезков АВ и АС: ВС = АС — АВ = 100 мм — 60 мм = 40 мм.
б) Середина отрезка ВС находится на расстоянии, равном половине длины отрезка ВС: d(А, середина ВС) = ВС/2 = 40 мм / 2 = 20 мм.
в) Расстояние между серединами отрезков АВ и АС равно расстоянию между точками, в которых эти отрезки пересекаются с прямой, на которой лежит точка А. Пусть точка пересечения отрезка АВ с этой прямой называется D, а точка пересечения отрезка АС с этой прямой называется E. Тогда расстояние между серединами отрезков АВ и АС равно расстоянию между точками D и E.
Чтобы найти точки D и E, можно нарисовать прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную данной прямой. Пусть точка пересечения этой прямой с данной прямой называется F. Тогда точки D и E будут лежать на отрезках АФ и АF соответственно, и расстояние между ними будет равно расстоянию между точками F и А, которое можно найти по теореме Пифагора:
d(середина АВ, середина АС) = √(AF² — (AB/2 — AC/2)²)
где AB/2 и AC/2 — это расстояния от точки А до середин отрезков АВ и АС соответственно.
Чтобы найти AF, можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника АФD:
AF² = AD² — DF²
где AD — это расстояние от точки А до прямой, а DF — это расстояние от точки F до данной прямой. Расстояние AD можно найти как высоту треугольника АВС, проведенную к стороне АС:
AD = √(AC² — (AB/2)²) = √(100² — 30²) = √(7000) ≈ 83.67 мм
Расстояние DF можно найти как разность длин отрезков АВ и АС, деленную на 2:
DF = (AC — AB)/2 = (100 — 60)/2 = 20 мм
Тогда:
AF² = AD² — DF² = 7000 — 400 = 6600
AF = √(6600) ≈ 81.24 мм
И, наконец:
d(середина АВ, середина АС) = √(AF² — (AB/2 — AC/2)²) = √(6600 — 10²) ≈ 81.20 мм
