Вопрос школьника
Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы АА1, ВВ1, СС1 через векторы а = АС и b = АВ.
Ответ от учителя
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, медиана АА1 соединяет вершину А с серединой стороны ВС, медиана ВВ1 соединяет вершину В с серединой стороны АС, а медиана СС1 соединяет вершину С с серединой стороны АВ.
Для начала найдем середины сторон треугольника ABC. Пусть M1 — середина стороны ВС, M2 — середина стороны АС, M3 — середина стороны АВ. Тогда векторы М1М2, М2М3 и М3М1 будут равными половине векторов ВС, АС и АВ соответственно:
М1М2 = 1/2 * (С + В — С) = 1/2 * (В — С) = -1/2 * (С — В)
М2М3 = 1/2 * (С + А — С) = 1/2 * (А — С)
М3М1 = 1/2 * (А + В — А) = 1/2 * (В — А)
Теперь можем выразить векторы АА1, ВВ1 и СС1 через векторы а = АС и b = АВ. Например, вектор АА1 можно выразить как сумму векторов АМ2 и М2А1:
АА1 = АМ2 + М2А1
Вектор АМ2 равен половине вектора С — В, а вектор М2А1 равен половине вектора А — С. Подставляем значения:
АА1 = 1/2 * (С — В) + 1/2 * (А — С) = 1/2 * (А — В)
Аналогично выражаем векторы ВВ1 и СС1:
ВВ1 = 1/2 * (А — С) + 1/2 * (В — А) = 1/2 * (В — С)
СС1 = 1/2 * (В — А) + 1/2 * (С — В) = 1/2 * (С — А)
Таким образом, векторы АА1, ВВ1 и СС1 выражаются через векторы а и b следующим образом:
АА1 = 1/2 * (А — В)
ВВ1 = 1/2 * (В — С)
СС1 = 1/2 * (С — А)
