Вопрос школьника
Отрезки AB и AC – диаметр и хорда окружности. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что ∠ACD = ∠CBD.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен углу, опирающемуся на эту хорду и лежащему внутри окружности. Таким образом, угол ACD равен углу, опирающемуся на хорду AB и лежащему внутри окружности.
Также заметим, что угол, опирающийся на диаметр и лежащий внутри окружности, является прямым. Таким образом, угол BCD является прямым.
Теперь рассмотрим треугольники ACD и BCD. У них общая сторона CD, а углы ACD и BCD равны, как мы только что доказали. Также угол ADC является прямым, так как AD – касательная к окружности. Таким образом, по признаку угл-угл-угл треугольники ACD и BCD подобны.
Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть, AC/BC = CD/BD. Но так как AB – диаметр, то CD = BD, и мы получаем AC = BC.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ACD и BCD подобны и имеют равные стороны AC и BC. Значит, они равнобедренные, и углы ACD и BCD равны.
