Вопрос школьника
Отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников ABC и А₁В₁С₁ соответственно. Докажите, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны, если известно, что AB=A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD=A₁D₁.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ необходимо показать, что они имеют равные стороны и равные углы.
Из условия задачи известно, что AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Рассмотрим стороны треугольников ABC и A₁B₁C₁:
AC = AB + BC
A₁C₁ = A₁B₁ + B₁C₁
Из условия AB = A₁B₁ и BD = B₁D₁ следует, что AD = AB + BD = A₁B₁ + B₁D₁. Таким образом, можно записать:
AC = AD + DC
A₁C₁ = A₁D₁ + D₁C₁
Так как AD = A₁D₁, то DC = D₁C₁. Следовательно, AC = A₁C₁.
Теперь рассмотрим углы треугольников ABC и A₁B₁C₁. Пусть угол BAC равен α, угол ABC равен β, а угол A₁B₁C₁ равен γ. Тогда:
∠BAD = ∠BA₁D₁ (так как AD = A₁D₁)
∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (так как BD = B₁D₁)
Из биссектрисной теоремы следует, что:
∠CAD = ∠BAD = ∠BA₁D₁
∠CBD = ∠ABD = ∠A₁B₁D₁
Таким образом, углы треугольников ABC и A₁B₁C₁ при вершинах A и B равны. Аналогично можно показать, что углы при вершине C и C₁ также равны.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют равные стороны и равные углы, что означает их равенство.
