Вопрос школьника
Отрезки AM и A1M1 — медианы треугольников ABC и A1B1C1, в которых ∠B = ∠B1 и ∠BAM = ∠B1A1M1. Докажите, что ∆ABC ~ ∆A1B1C1.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что медиана AM делит сторону BC пополам, а медиана A1M1 делит сторону B1C1 пополам. Также, из условия задачи следует, что углы B и B1 равны, а углы BAM и B1A1M1 также равны.
Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. Они имеют общую высоту, так как вершины B и B1 лежат на одной прямой. Кроме того, стороны BC и B1C1 параллельны, так как углы B и B1 равны. Значит, эти стороны пропорциональны.
Теперь рассмотрим медианы AM и A1M1. Они также делят стороны BC и B1C1 пополам. Значит, эти стороны также пропорциональны.
Итак, мы получили, что стороны треугольников ABC и A1B1C1 пропорциональны, а углы между ними равны. Значит, эти треугольники подобны.
