Вопрос школьника
Отрезки АО и МК имеют равную длину и пересекаются в точке В, которая делит их на 4 отрезка длиной 6 см, 7 см, 8 см и 9 см. Найди длину отрезка МК.
Ответ от учителя
Пусть точка А находится на отрезке АО, а точка К находится на отрезке МК. Также обозначим точки пересечения отрезков АВ и МВ как С и D соответственно.
Так как точка В делит отрезки АО и МК на 4 отрезка длиной 6 см, 7 см, 8 см и 9 см, то мы можем записать следующие уравнения:
AB + BC + CD + DA = 6 + 7 + 8 + 9 = 30
BD + DK + KM = 6 + 7 + 8 + 9 = 30
Также мы знаем, что отрезки АО и МК имеют равную длину, поэтому AB + BO = BD + DK + KM + MO.
Заметим, что BC + CD = BD и DA + AO = MO, поэтому мы можем переписать уравнение выше в следующем виде:
AB + BD + DA + BO = BD + DK + KM + MO
Отсюда получаем, что AB + DA + BO = DK + KM.
Заметим также, что треугольники АВС и МВD подобны, так как у них соответственные углы равны (угол АВС равен углу МВD, так как они вертикальные, угол ВСА равен углу ДМВ, так как они соответственные при пересечении прямой АО и МК). Поэтому мы можем записать следующее уравнение:
AB/MD = BC/VD
Заметим, что BC + CD = BD, поэтому BC/BD = CD/BD = CD/VD. Подставляя это в уравнение выше, получаем:
AB/MD = CD/VD
Отсюда следует, что AB/CD = MD/VD.
Так как мы знаем длины отрезков AB, CD и MD, то мы можем выразить длину отрезка VD:
AB/CD = MD/VD
AB/CD * VD = MD
VD = MD * CD/AB
Подставляя известные значения, получаем:
VD = 9 * 8/6 = 12
Таким образом, длина отрезка МК равна DK + KM = BD + VD + KM = 7 + 12 + 8 = 27 см.
