Вопрос школьника
Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пересекаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пересекает прямую BD.
Ответ от учителя
Предположим, что отрезок АС пересекает прямую BD в точке F. Тогда треугольники АФС и СЕВ будут подобными, так как у них соответственные углы равны (угол АФС равен углу СЕВ, так как они вертикальные, угол СФА равен углу ЕВС, так как они соответственные при пересечении двух прямых).
Также у них будут пропорциональные стороны:
АС/СЕ = АФ/ВЕ
Но мы знаем, что отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е, поэтому:
АЕ/ЕВ = СЕ/ЕD
Таким образом, мы можем выразить СЕ через АЕ и ЕВ:
СЕ = (АЕ*ЕD)/ЕВ
Подставляем это выражение в пропорцию для треугольников АФС и СЕВ:
АС/АЕ = АФ/ВЕ * ЕВ/ЕD * Делим обе части на АФ
АС/АФ = (АЕ/ЕD) * (ЕВ/ВЕ)
АС/АФ = СЕ/ВЕ
АС/АФ = (АЕ*ЕD)/(ВЕ*СЕ)
Но мы знаем, что СЕ = (АЕ*ЕD)/ЕВ, поэтому:
АС/АФ = ЕВ/ВЕ
Таким образом, мы получили, что АС/АФ = ЕВ/ВЕ. Но мы также знаем, что АФ и ВЕ лежат на прямой BD, поэтому АС и ВЕ должны быть параллельными. Но это противоречит тому, что мы предположили в начале, что отрезок АС пересекает прямую BD в точке F.
Следовательно, отрезок АС не пересекает прямую BD.
