Вопрос школьника
Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 10, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 12 и 5.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством хорд, которое гласит: «Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение отрезков каждой хорды равно». Обозначим расстояние от центра окружности до хорды AB как h1, а расстояние от центра до хорды CD как h2. Тогда по условию задачи имеем:
AB = 10
h1 = 12
h2 = 5
Пусть точка пересечения хорд находится в точке E. Тогда по свойству хорд имеем:
AE * EB = CE * ED
Заметим, что AE = EB, так как точка E находится на биссектрисе угла AEB. Поэтому:
AE^2 = CE * ED
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников AEO и CEO:
AE^2 = h1^2 — (AB/2)^2
CE^2 = h2^2 — (CD/2)^2
Подставляя выражения для AE и CE в формулу, получаем:
h1^2 — (AB/2)^2 = (h2^2 — (CD/2)^2) * CD^2
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем квадратное уравнение относительно CD:
CD^4 — 20CD^2 — 175 = 0
Решая это уравнение, получаем два корня: CD^2 = 25 и CD^2 = 7. Поскольку длина хорды не может быть отрицательной, то выбираем положительный корень:
CD^2 = 25
Отсюда следует, что CD = 5. Таким образом, длина хорды CD равна 5.
