Вопрос школьника
Отрезки касательных, проведенных из точки С к окружности с центром О, равны радиусу окружности. Найдите угол между касательными
Ответ от учителя
Пусть точка С находится на расстоянии r от центра О окружности. Тогда отрезки касательных, проведенных из точки С к окружности, будут равны радиусу окружности, то есть также r.
Рассмотрим треугольник СОА, где А — точка касания одной из касательных с окружностью. Так как отрезки СА и СО равны радиусу окружности, то треугольник СОА является равнобедренным. Значит, угол между касательными равен углу СОА.
Для нахождения угла СОА воспользуемся теоремой косинусов:
cos(СОА) = (СА² + ОА² — СО²) / (2 * СА * ОА)
Так как треугольник СОА равнобедренный, то ОА = r. Также, так как СА = r, то СО = 2r (так как ОС является медианой треугольника САО). Подставляя эти значения, получаем:
cos(СОА) = (r² + r² — (2r)²) / (2 * r * r) = 0
Значит, угол СОА равен 90 градусов, и угол между касательными также равен 90 градусов.
