Вопрос школьника
Отрезки СЕ и AF — медианы, проведенные соответственно к боковым сторонам АВ и ВС равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что четырехугольник AEFC — трапеция, и вычислите длину ее средней линии, если АС = 6 см.
Ответ от учителя
Для начала, заметим, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, являются биссектрисами углов при основании. Таким образом, мы можем сказать, что угол BAC равен углу BCA, а угол ACF равен углу ACE.
Теперь рассмотрим четырехугольник AEFC. Мы знаем, что угол ACF равен углу ACE, а угол AFC является смежным с углом BAC. Таким образом, мы можем сделать вывод, что угол AFC также равен углу BAC.
Из равенства углов следует, что треугольники ACF и ABC подобны. Так как медиана СЕ является высотой треугольника ABC, то мы можем записать:
$frac{AF}{AC} = frac{CF}{BC}$
Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC равно AC, а значит:
$frac{AF}{AC} = frac{CF}{AC}$
Отсюда следует, что AF = CF, то есть четырехугольник AEFC является трапецией.
Для вычисления длины средней линии трапеции AEFC нам нужно найти среднее арифметическое длин ее оснований. Основаниями являются стороны AE и CF.
Для начала найдем длину стороны AE. Мы знаем, что медиана СЕ является высотой треугольника ABC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота СЕ является биссектрисой угла BAC. Таким образом, мы можем записать:
$frac{BE}{BC} = frac{CE}{AC}$
Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC равно AC, а значит:
$frac{BE}{AC} = frac{CE}{AC}$
Отсюда следует, что BE = CE, то есть сторона AE равна половине стороны AB:
$AE = frac{AB}{2}$
Так как треугольник ABC равнобедренный, то сторона AB равна 2AC, а значит:
$AE = AC$
Теперь найдем длину стороны CF. Мы знаем, что медиана AF является биссектрисой угла BAC. Таким образом, мы можем записать:
$frac{BF}{BC} = frac{AF}{AC}$
Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC равно AC, а значит:
$frac{BF}{AC} = frac{AF}{AC}$
Отсюда следует, что BF = AF, то есть сторона CF равна половине стороны BC:
$CF = frac{BC}{2}$
Так как треугольник ABC равнобедренный, то сторона BC равна 2AC, а значит:
$CF = AC$
Таким образом, мы получили, что длина средней линии трапеции AEFC равна:
$frac{AE + CF}{2} = frac{2AC}{2} = AC = 6$ см.
