Вопрос школьника
Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, точка O — центр вписанной в него окружности. Докажите, что AO : OD = (AB + AC) : BC.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка O является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC, так как она является центром вписанной окружности, которая касается сторон AB, AC и BC в точках M, N и P соответственно. Тогда, по свойству биссектрисы, мы можем сказать, что угол BAO равен углу DAO.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что угол BAO равен углу DAO, а также угол ABD равен углу ACD, так как AD является биссектрисой. Тогда по теореме синусов для треугольников ABO и ADO мы можем записать:
AO / BO = sin(BAO) / sin(ABO)
DO / BO = sin(DAO) / sin(ADO)
Но так как угол BAO равен углу DAO, то sin(BAO) равен sin(DAO), а значит:
AO / DO = sin(ABO) / sin(ADO)
Теперь заметим, что sin(ABO) равен радиусу вписанной окружности, который равен площади треугольника ABC, поделенной на полупериметр треугольника ABC:
sin(ABO) = r / (s — a)
где r — радиус вписанной окружности, s — полупериметр треугольника ABC, a — длина стороны BC.
Аналогично, sin(ADO) равен радиусу вписанной окружности треугольника ACD, который также равен площади треугольника ABC, поделенной на полупериметр треугольника ACD:
sin(ADO) = r / (s — b — c)
где b и c — длины сторон AB и AC соответственно.
Тогда мы можем записать:
AO / DO = (s — b — c) / (s — a)
Но так как s = (a + b + c) / 2, то мы можем переписать это выражение в виде:
AO / DO = (a + b + c — b — c) / (a + b + c — a) = (b + c) / a
А это и есть искомое соотношение:
AO : OD = (AB + AC) : BC
что и требовалось доказать.
