Вопрос школьника
Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, в котором ∠C = 90º, AB = 15 см и AC = 12 см. Найдите BD и CD.
Ответ от учителя
Для начала, построим треугольник ABC с заданными сторонами и углом C = 90º:
Заметим, что отрезок AD является биссектрисой угла A, то есть делит сторону BC на две части, пропорциональные другим двум сторонам треугольника. То есть:
BD/CD = AB/AC
Подставляем известные значения:
BD/CD = 15/12
Упрощаем дробь:
BD/CD = 5/4
Теперь нам нужно найти конкретные значения BD и CD. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:
AB² + AC² = BC²
15² + 12² = BC²
225 + 144 = BC²
369 = BC²
BC = √369 ≈ 19,2 см
Теперь мы знаем длину стороны BC. Чтобы найти BD и CD, воспользуемся найденным ранее отношением:
BD/CD = 5/4
BD = (5/4)CD
BD + CD = BC
Подставляем второе уравнение в первое:
(5/4)CD + CD = BC
(9/4)CD = BC
CD = (4/9)BC
CD = (4/9)√369 ≈ 8,5 см
Теперь можем найти BD:
BD = (5/4)CD
BD = (5/4)(4/9)√369
BD = (5/9)√369 ≈ 10,7 см
Итак, мы нашли, что BD ≈ 10,7 см и CD ≈ 8,5 см.
