Вопрос школьника
Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, в котором AB = c, AC = b. Докажите, что AD = ((2bc)/(b + c)) cos (A/2).
Ответ от учителя
Для начала, обозначим точку пересечения биссектрисы AD с стороной BC как точку E. Тогда, по определению биссектрисы, угол BAE равен углу CAE, то есть углу A/2.
Также, по теореме синусов в треугольнике ABC, имеем:
c/sin(A) = b/sin(C)
sin(C) = (b*sin(A))/c
Теперь рассмотрим треугольник AED. По теореме синусов в нем:
AD/sin(B) = DE/sin(A/2)
Но угол B равен углу C + углу A/2, то есть:
sin(B) = sin(C + A/2) = sin(C)cos(A/2) + cos(C)sin(A/2)
Подставляя выражения для sin(C) и sin(B) в предыдущее уравнение, получаем:
AD/(sin(C)cos(A/2) + cos(C)sin(A/2)) = DE/sin(A/2)
AD = (DE*sin(C)cos(A/2) + DE*cos(C)sin(A/2))/sin(A/2)
AD = DE*(b*sin(A/2)*cos(A/2) + c*cos(A/2)*sin(A/2))/(b*sin(A/2))
AD = DE*c/(b + c)
Но также из треугольника ADE следует, что:
DE = AB*sin(B)/sin(A)
DE = c*sin(C)/sin(A)
Подставляя это выражение для DE в предыдущее уравнение, получаем:
AD = (c*sin(C)/(b + c))*((b*c)/(sin(A)*c))
AD = (2bc/(b + c))*sin(C)
Но мы уже выразили sin(C) через sin(A) и b, c:
sin(C) = (b*sin(A))/c
Подставляя это выражение, получаем:
AD = (2bc/(b + c))*(b*sin(A)/c)
AD = (2bc/(b + c))*sin(A)
Но мы хотим выразить AD через cos(A/2), поэтому воспользуемся формулой половинного угла:
sin(A) = 2sin(A/2)cos(A/2)
Подставляя это выражение, получаем:
AD = ((2bc)/(b + c)) cos (A/2)
Что и требовалось доказать.
