Вопрос школьника
Отрезок AM — медиана треугольника ABC, в котором ∠MAB = β и ∠MAC = γ. Докажите, что sin β/sin B = sin γ/sin C.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой синусов для треугольников.
Из треугольника ABM получаем:
sin β = BM/AB
Из треугольника AMC получаем:
sin γ = CM/AC
Также из треугольника ABC получаем:
sin B = AB/AC
sin C = BC/AC
Тогда можно переписать первые два уравнения в виде:
BM = AB*sin β
CM = AC*sin γ
А третье и четвертое уравнения в виде:
AB = AC*sin B
BC = AC*sin C
Подставляя эти выражения в первые два уравнения, получаем:
sin β/sin B = BM/AB = AB*sin β/(AC*sin B) = sin β/sin γ
Таким образом, доказано, что sin β/sin B = sin γ/sin C.
