Вопрос школьника
Отрезок AM является перпендикуляром к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Найдите синус угла b между прямой MO и плоскостью MAB, если MA=AD.
Ответ от учителя
Поскольку отрезок AM является перпендикуляром к плоскости квадрата ABCD, то он также является перпендикуляром к его диагоналям. Значит, угол AOM является прямым.
Также, поскольку MA=AD, то треугольник MAD является равнобедренным, а значит, угол MDA равен углу MAD.
Теперь рассмотрим треугольник MAB. Угол AMB является прямым, а угол MAB равен углу MAD (из-за равнобедренности треугольника MAD). Значит, угол BMA равен 90-углу MAD.
Таким образом, мы получили, что угол b между прямой MO и плоскостью MAB равен углу BMA, то есть 90-углу MAD.
Осталось найти синус этого угла. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике MAD:
sin MAD = AD/MD
MD можно найти, воспользовавшись теоремой Пифагора в треугольнике MOD:
MD^2 = MO^2 — OD^2
OD равно стороне квадрата ABCD, то есть AD*sqrt(2). MO равно AM+MD, то есть AD+MD. Подставляем:
MD^2 = (AD+MD)^2 — AD^2*2
MD^2 = AD^2 + 2AD*MD + MD^2 — 2AD^2
AD*MD = AD^2/2
Теперь можем найти sin MAD:
sin MAD = AD/MD = 2/sqrt(5)
Итак, мы нашли, что угол b равен 90-углу MAD, а sin MAD равен 2/sqrt(5). Ответ: sin b = cos MAD = sqrt(1-sin^2 MAD) = sqrt(3/5).
